Vizsgáljuk egy lejtőre helyeztt hasáb mozgásegyenleteit a sympy csomag segítségével. Legyen a hasáb tömege $M$ jelöljük a test lejtő menti gyorsulását $a$-val a tartó erőt $F_t$-vel. Tételezzük fel hogy a test és a lejtő között csúszási surlódás lép fel melyet a $\mu$ együttható jellemez. Jelöljük a surlódási erőt $F_s$-el. A lejtő vízszintessel bezárt szöge legyen $\alpha$. Ha $0$ kezdősebességgel elengedjük a hasábot akkor $t$ idő múlva mekkora utat fog megtenni ? Határozzuk meg $a$-t,$F_s$-et illetve $F_t$-t is!
A megoldandó egyenletrendszer tehát:
$$Mg\sin(\alpha)-F_s=Ma$$ $$Mg\cos(\alpha)-F_t=0 $$ $$F_s=\mu F_t $$ $$s=\frac{a}{2}t^2 $$
Határozzuk meg két egyenes metszéspontját a mintapéldában definiált megold22 függvény segítségével. Legyen a két egyenes egyenlete $$3x+4y=3$$ és $$5x-2y=0.$$ Vajon milyen esetekben nem tudnánk a megold22 rutint használni ?
Az $x$ $y$ és $z$ tengely körüli forgatások mátrixai a következő alakot öltik: $$ R_x(\alpha)=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0&\cos(\alpha) & -\sin(\alpha) \\ 0&\sin(\alpha) & \cos(\alpha) \end{pmatrix},\quad R_y(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & 0 & -\sin(\alpha) \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin(\alpha) & 0 & \cos(\alpha) \end{pmatrix}, R_z(\alpha)=\begin{pmatrix} \cos(\alpha) & -\sin(\alpha) & 0 \\ \sin(\alpha) & \cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$
Melyik az az $u$ vektor melyre igaz az hogy $$ R_x(\pi/3)R_z(\pi/7)R_y(\pi/5)u= \begin{pmatrix} 137 \\ 42 \\ 36 \end{pmatrix}. $$ Határozzuk meg a keresett $u$-t a numpy solve() rutin segítségével!
A CO$_2$ molekula atomjainak rezgését az alábbi három egyenlet írja le $$m_O \overset{..}{x}_1=k(x_1-x_2),\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$m_C \overset{..}{x}_2=k(x_2-x_1)+k(x_2-x_3),$$ $$m_O \overset{..}{x}_3=k(x_3-x_2).\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ Feltéve hogy a rendszer harmonikus mozgást végez $x_i=A_i\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}$ az alábbi egyenletrendszerre jutunk: $$m_O \omega^2 A_1=k(A_1-A_2),\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ $$m_C \omega^2 A_2=k(A_2-A_1)+k(A_2-A_3),$$ $$m_O \omega^2 A_3=k(A_3-A_2).\quad\quad\quad\quad\quad\quad$$ Vizsgáljuk ezt az egyenlet rendszert egy dimenzióban! Azaz mind a három $A_i$ tekintsük egyszerű számoknak! Legyen továbbá $k=1$, $m_O=16$ és $m_C=12$. Határozuk meg numpy eig() rutinja segítségével az $\omega_i$ sajátfrekvenciákat illetve a sajátfrekvenciákhoz tartozó rezgési módusokat!